Plan médiateur et optimisation

On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire au segment et passant par son milieu.

1. Soit \(\text I\)  le milieu du segment \(\text {[AB]}\)  et  \(P\) le plan médiateur de \(\text {[AB]}\) . Soit  \(\text M\) un point quelconque de \(P\) . Démontrer que les triangles  \(\text {MIA}\) et \(\text {MIB}\)  sont rectangles.

2. En déduire que \(\text {MA}=\text {MB}\) . On a donc démontré que tout point d'un plan médiateur est équidistant des extrémités du segment.

La figure ci-dessous représente un cube \(\text {ABCDEFGH}\)  d’arête \(1\) . On désigne par  \(\text {I}\) et  \(\text {J}\) les milieux respectifs des arêtes  \(\text {[BC]}\) et \(\text {[CD]}\) . Soit  \(\text {M}\) un point quelconque du segment \(\text {[CE]}\) .
Dans tout l’exercice, on se place dans le repère orthonormal \(\left(\text A;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)\) .

3. a. Donner, sans justification, les coordonnées des points \(\text {C}\) , \(\text {E}\) , \(\text {I}\)  et \(\text {J}\) .
    b. Justifier l’existence d’un réel  \(t\) appartenant à l’intervalle \([0~;~1]\) , tel que les coordonnées du point  \(\text {M}\) soient  \(\left(1-t~;~1-t~;~t\right)\) .

4. a. Démontrer que les points  \(\text {C}\) et  \(\text {E}\) appartiennent au plan médiateur du segment \(\text {[IJ]}\) .
    b. En déduire que le triangle  \(\text {MIJ}\) est un triangle isocèle en \(\text {M}\) .
    c. Exprimer \(\text {IM}^2\)  en fonction de  \(t\) .

5. Le but de cette question est de déterminer la position du point   \(\text {M}\)  sur le segment   \(\text {[CE]}\)  pour laquelle la mesure de l’angle  \(\widehat{\text{IMJ}}\) est maximale. On désigne par  \(\theta\) la mesure en radian de l’angle \(\widehat{\text{IMJ}}\) .
    a. En admettant que la mesure appartient à l’intervalle  \([0~;~\pi]\) , démontrer que la mesure  \(\theta\) est maximale lorsque  \(\sin\theta\) est maximal.
    b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur  \(\text{IM}\) est minimale.
    c. Étudier les variations de la fonction  \(f\) définie sur l’intervalle  \([0~;~1]\) par : \(f(t)=3t^{2}-t+\dfrac{1}{4}\) .
    d. En déduire qu’il existe une unique position \(\text M_0\)  du point  \(\text M\) sur le segment  \(\text {[CE]}\)  telle que la mesure de l’angle \(\widehat{\text{IMJ}}\) soit maximale.
    e. Démontrer que le point   \(\text M_0\)  est le projeté orthogonal du point  \(\text I\) sur le segment  \(\text {[CE]}\) .